この記事で示すこと

• 2つの粒子がそれぞれMaxwell-Boltzmann分布に従って運動しているとき、その相対速度もまたMaxwell-Boltzmann分布に従うことを示す

モチベーション

　二つの原子核が衝突して核反応を起こすとき、その反応の確率は相対速度に依存する。また、恒星内は局所的熱力学平衡状態にあると仮定すると、原子核の運動はMaxwell-Boltzmann分布に従う。

　星の進化を考える上で核反応による組成変化は重要な要素であり、相対速度はその反応確率に影響を与えるため、相対速度分布を知ることは重要である。

　ゼミで使っている教科書にはサラッと「相対速度もMaxwell-Boltzmann分布に従う」と書いてあったが、特に証明はされていなかったので、実際に計算してみることにした。

計算

　質量 $m_1$ の粒子1の速度分布は

$$f_1(\vb{v}) \dd{\vb{v}} = \pqty{\frac{m_1}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-m_1v^2}{2 k T}} \dd{\vb{v}},$$

質量 $m_2$ の粒子2の速度分布は

$$f_2(\vb{v}) \dd{\vb{v}} = \pqty{\frac{m_2}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-m_2v^2}{2 k T}} \dd{\vb{v}},$$

であるとする。

　粒子1が速度 $\vb{v}_1$ 、粒子2が速度 $\vb{v}_2$ をとる同時確率密度は、各粒子が独立に運動していることから

$$\begin{align} f_1(\vb{v}_1) f_2(\vb{v}_2) \dd{\vb{v}_1} \dd{\vb{v}_2} = \pqty{\frac{m_1}{2\pi k T}}^{3/2} \pqty{\frac{m_2}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-m_1v_1^2}{2 k T}} \exp \pqty{\frac{-m_2v_2^2}{2 k T}} \dd{\vb{v}_1} \dd{\vb{v}_2}. \end{align}$$

　ここで、重心速度 $\vb{V} \equiv \frac{m_1 \vb{v}_1 + m_2 \vb{v}_2}{m_1 + m_2}$ と相対速度 $\vb{u} \equiv \vb{v}_1 - \vb{v}_2$ を導入すると

$$\begin{align} \vb{v}_1 &= \vb{V} + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \vb{u}, \\ \vb{v}_2 &= \vb{V} - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \vb{u}, \end{align}$$

と表せる。

　exponentialの中身を整理すると

$$\begin{align} m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 &= m_1 \pqty{\vb{V} + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \vb{u}}^2 + m_2 \pqty{\vb{V} - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \vb{u}}^2 \notag \\ &= \pqty{m_1 + m_2} \vb{V}^2 + \pqty{\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}} \vb{u}^2 \notag \\ &= \pqty{m_1 + m_2} \vb{V}^2 + \mu \vb{u}^2. \end{align}$$

　最後に $\mu \equiv \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ とした。ここで $\mu$ は換算質量である。

　また、座標変換 $(\vb{v}_1, \vb{v}_2) \to (\vb{V}, \vb{u})$ のヤコビアンは

$$\begin{align} \det \pqty{\frac{\partial (\vb{v}_1, \vb{v}_2)}{\partial (\vb{V}, \vb{u})}} &= \det \begin{pmatrix} 1 & \frac{m_2}{m_1 + m_2} \\ 1 & -\frac{m_1}{m_1 + m_2} \end{pmatrix} \notag \\ &= - \frac{m_2 + m_1}{m_1 + m_2} = -1. \end{align}$$

　(2),(3),(4),(5)を用いて、(1)を整理すると

$$\begin{align} f_1(\vb{v}_1) f_2(\vb{v}_2) \dd{\vb{v}_1} \dd{\vb{v}_2} &= \pqty{\frac{m_1}{2\pi k T}}^{3/2} \pqty{\frac{m_2}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-\pqty{m_1 + m_2}\vb{V}^2 - \mu \vb{u}^2}{2 k T}} \dd{\vb{V}} \dd{\vb{u}} \\ &= f_V(\vb{V}) f_u(\vb{u}) \dd{\vb{V}} \dd{\vb{u}} \notag. \end{align}$$

　ここで、$f_V(\vb{V})$ は重心速度の分布、$f_u(\vb{u})$ は相対速度の分布である。同時確率密度関数が規格化されているので、$f_V(\vb{V})$ と $f_u(\vb{u})$ も規格化されているとしてよい。

　(6)式を $\vb{V}$ について積分すると

$$\begin{align} \int f_V(\vb{V}) f_u(\vb{u}) \dd{\vb{V}} &= f_u(\vb{u}) \dd{\vb{u}} \int f_V(\vb{V}) \dd{\vb{V}} \notag \\ &= f_u(\vb{u}) \dd{\vb{u}} \notag \\ &= \pqty{\frac{m_1}{2\pi k T}}^{3/2} \pqty{\frac{m_2}{2\pi k T}}^{3/2} \int_0^\infty \exp \pqty{\frac{-(m_1 + m_2) V^2 - \mu \vb{u}^2}{2 k T}} 4 \pi V^2 \dd{V} \dd{\vb{u}} \notag \\ &= \pqty{\frac{m_1}{2\pi k T}}^{3/2} \pqty{\frac{m_2}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-\mu \vb{u}^2}{2 k T}} \dd{\vb{u}} \int_0^\infty \exp \pqty{\frac{-(m_1 + m_2) V^2}{2 k T}} 4 \pi V^2 \dd{V} \notag \\ &= \pqty{\frac{m_1}{2\pi k T}}^{3/2} \pqty{\frac{m_2}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-\mu \vb{u}^2}{2 k T}} \dd{\vb{u}} \qty{4 \pi \frac{1}{4} \pqty{\frac{2 k T}{m_1 + m_2}}^{3/2} \sqrt{\pi}} \notag \\ &= \pqty{\frac{\mu}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-\mu \vb{u}^2}{2 k T}} \dd{\vb{u}} \end{align}$$

となる。よって、相対速度の分布は

$$f_u(\vb{u}) = \pqty{\frac{\mu}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-\mu \vb{u}^2}{2 k T}}.$$

　これは質量を換算質量 $\mu$ としたときのMaxwell-Boltzmann分布そのものである。

　ついでに、重心速度の分布は

$$f_V(\vb{V}) = \pqty{\frac{m_1 + m_2}{2\pi k T}}^{3/2} \exp \pqty{\frac{-(m_1 + m_2) V^2}{2 k T}},$$

となり、こちらも質量を $m_1 + m_2$ としたときのMaxwell-Boltzmann分布である。